Matemáticas interesantes

CUADRADO MÁGICO DEL YI CHING

Escrito por amigosdelamatematica 19-02-2008 en General. Comentarios (0)

Los cuadrados mágicos han despertado desde siempre la curiosidad de sabios y de locos (desde el mejor sentido que esta palabra conlleva). Contienen arreglos numéricos de  cantidades que van desde 1 hasta nxn (= n*n), siendo n el número de renglones o de columnas del cuadrado a construir. Así, un cuadrado mágico poseé n renglones y n columnas, siendo por esto de orden nxn. La razón por la cual se considera mágico, es que la suma en renglones, columnas y diagonales de las cantidades en las casillas es siempre la misma, siendo este valor el de la constante mágica k, el cuál puede obtenerse al calcular la siguiente expresión (dependiendo obviamente del valor de n):

k = n*(n*n + 1)/2

 

En términos generales, se puede decir que los cuadrados mágicos se dividen en dos grandes ramas: los de número de casillas par o impar (en renglones o en columnas). Los de orden par pueden ser construídos mediante algoritmos sencillos de asignación de cantidades (por ejemplo, el Método de las X); mientras que lo de orden impar requieren de una asignación bajo un concepto un poco más "artístico" (el Método de Louvére, por ejemplo).

 

El cuadrado mágico que se presenta a continuación es de orden 8x8 y fue construído empleando el Método de las X, asignando los valores correspondientes a las casillas en las diagonales de cada subcuadrado mágico en el sentido de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo. Después, en el resto de las cantidades se asignan a las casillas, dependiendo de que la cantidad a asignar sea par o impar, en orden inverso a la asignación inicial. La constante màgica k para este cuadrado mágico se calcula a continuación: k = 8*(8*8 + 1)/2 = 8*(64 + 1)/2 = 4*(65) = 260.

 

Para hacerlo novedoso, se han correspondido las cantidades asignadas de cada casilla con los hexagramas del I Ching (Yi Ching). Los significados esotéricos de cada hexagrama se dejan al estudioso de esas ciencias, siendo el principal aspecto a resaltar dentro de la matemática el que la suma de las cantidades en renglones, columnas y diagonales, la de la constante mágica calculada arriba.

 

CUADRADO MÁGICO EN UN TABLERO 8x8

1

63

62

4

5

59

58

8

260

56

10

11

53

52

14

15

49

260

48

18

19

45

44

22

23

41

260

25

39

38

28

29

35

34

32

260

33

31

30

36

37

27

26

40

260

24

42

43

21

20

46

47

17

260

16

50

51

13

12

54

55

9

260

57

7

6

60

61

3

2

64

260

260

260

260

260

260

260

260

260

 

 

CUADRADO MÁGICO DEL YI CHING

 

CUADRADO MÁGICO DEL YI CHING

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

63

62

4

 

5

59

58

8

260

CH'IEN

CHI CHI

HSIAO KUO

MÉNG

 

HSÚ

HUAN

TUI

PI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

10

11

53

 

52

14

15

49

260

T'AI

CHIEN

 

KÊN

TA YU

CH'IEN

KO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

18

19

45

 

44

22

23

41

260

CHING

KU

LIN

TS'UI

 

KOU

PI

PO

SUN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

39

38

28

 

29

35

34

32

260

WU WANG

CHIEN

K'UEI

TA KUO

 

K'AN

CHIN

TA CHUANG

HÊNG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

31

30

36

 

37

27

26

40

260

TUN

HSIEN

LI

MING I

 

CHIA JÊN

I

TA CH'U

HSIEH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

42

43

21

 

20

46

47

17

260

FU

I

KUAI

SHI HO

 

KUAN

SHÊNG

K'UN

SUI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CUADRADO MÁGICO DEL YI CHING

 

CUADRADO MÁGICO DEL YI CHING

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

50

51

13

 

12

54

55

9

260

TING

CHÊN

T'UNG JÊN

 

P'I

KUEI MEI

FÊNG

HSIAO CH'U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

7

6

60

 

61

3

2

64

260

SUN

SHIH

SUNG

CHIEH

 

CHUNG FU

CHUN

K'UN

WEI CHI

 

260

260

260

260

 

260

260

260

260

 

Criba de Eratóstenes

Escrito por amigosdelamatematica 12-02-2008 en General. Comentarios (19)

La factorización aritmética nos permite descomponer un número natural en sus factores primos. Para esto, es necesario identificar estos números primos, que tienen como caraterística básica, el ser divisibles solo por si mismos y la unidad para dar como residuo de la operación el número cero. Por ejemplo: el número 7 es primo, porque al dividirlo entre 1 y entre 7, da como residuo 0. En otros tèrminos: 7/1 = 7, RESIDUO 0; 7/7 = 1, RESIDUO 0. En cambio, el número 16 no es un número primo por ser divisible entre 1, 2, 4, 8 y 16 (admitiendo más de dos divisores que es la condición para que un número sea o no número primo).

 

Pero, ¿cómo se generan esos números primos?

 

A continuación te presento la famosa Criba de Eratóstenes, matemático griego que ideo una forma fácil y sencilla de identificar a los números primos, eliminando los múltiplos de los primeros números primos (como son el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, etc.) mayores o iguales que el número primo elevado al cuadrado.

 

Por ejemplo: los múltiplos de 2 que se van a eliminar de la Tabla, mediante esta Criba, son el 4, 6, 8, 10, etc., que son los múltiplos de 2 mayores o iguales que 4. Procediendo así, se muestra a continuación la Criba de Eratóstenes que se obtiene para los primeros 1000 números naturales, los primeros 168 nùmeros primos.

 

CRIBA DE ERATÓSTENES PARA LOS PRIMEROS 1000 NÚMEROS NATURALES
123456789104
111213141516171819204
212223242526272829302
313233343536373839402
414243444546474849503
515253545556575859602
616263646566676869702
717273747576777879803
818283848586878889902
919293949596979899100125
1011021031041051061071081091104
1111121131141151161171181191201
1211221231241251261271281291301
1311321331341351361371381391403
1411421431441451461471481491501
1511521531541551561571581591602
1611621631641651661671681691702
1711721731741751761771781791802
1811821831841851861871881891901
191192193194195196197198199200421
2012022032042052062072082092100
2112122132142152162172182192201
2212222232242252262272282292303
2312322332342352362372382392402
2412422432442452462472482492501
2512522532542552562572582592602
2612622632642652662672682692702
2712722732742752762772782792802
2812822832842852862872882892902
291292293294295296297298299300116
3013023033043053063073083093101
3113123133143153163173183193203
3213223233243253263273283293300
3313323333343353363373383393402
3413423433443453463473483493502
3513523533543553563573583593601
3613623633643653663673683693701
3713723733743753763773783793802
3813823833843853863873883893902
391392393394395396397398399400115
4014024034044054064074084094102
4114124134144154164174184194201
4214224234244254264274284294301
4314324334344354364374384394403
4414424434444454464474484494502
4514524534544554564574584594601
CRIBA DE ERATÓSTENES PARA LOS PRIMEROS 1000 NÚMEROS NATURALES
4614624634644654664674684694703
4714724734744754764774784794801
4814824834844854864874884894901
491492493494495496497498499500217
5015025035045055065075085095102
5115125135145155165175185195200
5215225235245255265275285295302
5315325335345355365375385395400
5415425435445455465475485495502
5515525535545555565575585595601
5615625635645655665675685695702
5715725735745755765775785795802
5815825835845855865875885895901
591592593594595596597598599600214
6016026036046056066076086096102
6116126136146156166176186196203
6216226236246256266276286296300
6316326336346356366376386396401
6416426436446456466476486496503
6516526536546556566576586596602
6616626636646656666676686696701
6716726736746756766776786796802
6816826836846856866876886896901
691692693694695696697698699700116
7017027037047057067077087097102
7117127137147157167177187197201
7217227237247257267277287297301
7317327337347357367377387397402
7417427437447457467477487497501
7517527537547557567577587597602
7617627637647657667677687697702
7717727737747757767777787797801
7817827837847857867877887897901
791792793794795796797798799800114
8018028038048058068078088098101
8118128138148158168178188198201
8218228238248258268278288298304
8318328338348358368378388398401
8418428438448458468478488498500
8518528538548558568578588598603
8618628638648658668678688698701
8718728738748758768778788798801
8818828838848858868878888898903
891892893894895896897898899900015
9019029039049059069079089099101
9119129139149159169179189199202
9219229239249259269279289299301
CRIBA DE ERATÓSTENES PARA LOS PRIMEROS 1000 NÚMEROS NATURALES
9319329339349359369379389399401
9419429439449459469479489499502
9519529539549559569579589599601
9619629639649659669679689699702
9719729739749759769779789799802
9819829839849859869879889899901
9919929939949959969979989991000215
168